О типичных однородных векторных полях 

Владимир Шлеймович Ройтенберг, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88), vroitenberg@mail.ru 

Актуальность и цели. Исследование динамических систем с симметрией представляет как теоретический, так и прикладной интерес. Фазовые портреты динамических систем, задаваемых однородными векторными полями, инвариантны относительно группы растяжений фазового пространства. В первую очередь естественно описать типичные однородные векторные поля. Структура фазовых портретов типичных однородных векторных полей на проективной плоскости известна. Целью настоящей работы является получение некоторых типичных свойств однородных векторных полей в фазовом пространстве размерности три и больше. Материалы и методы. В работе применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. Результаты. Рассматриваются однородные векторные поля в m-мерном арифметическом пространстве степени n > 0, имеющие непрерывные производные везде, кроме, быть может, начала координат. Траектории однородных векторных полей естественно продолжаются на компактификацию пространства – шар Пуанкаре. Показано, что векторные поля, имеющие в шаре Пуанкаре с выколотым началом координат только гиперболические особые точки и замкнутые траектории, типичны: они образуют массивное множество в банаховом пространстве однородных векторных полей. Вводится понятие слабо структурно устойчивого однородного векторного поля. Получены необходимые и достаточные условия слабой структурной устойчивости при m = 3. Показано, что в банаховом пространстве однородных векторных полей слабо структурно устойчивые векторные поля образуют открытое всюду плотное множество. Выводы. Слабая структурная устойчивость однородных векторных полей в трехмерном пространстве – типичное свойство. 

Ключевые слова

однородное векторное поле, компактификация фазового пространства, гиперболические особые точки и замкнутые траектории, типичность, слабая структурная устойчивость

 Скачать статью в формате PDF

Для цитирования:

Ройтенберг В. Ш. О типичных однородных векторных полях // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 45–55. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-5